OPTICA ONDULATORIA

La óptica ondulatoria se encarga de estudiar cómo determinar las longitudes de onda.

La luz se puede ver como partículas o como onda. La óptica geométrica estudia a la luz dependiendo de su naturaleza corpuscular de la luz. La óptica ondulatoria depende de la naturaleza ondulatoria de la luz.

Interferencia, difraccion y polarizacion.

Nota: La frecuencia no cambia.

Condiciones para interferencia

Dos ondas podían sumarse constructiva o destructivamente. En la interferencia constructiva la amplitud de la onda resultante es mayor que la de cualquiera de las ondas individuales mientras que en la interferencia destructiva la amplitud resultante es menor que la de cualquier onda individual. Las ondas de luz también interfieren unas con otras. La interferencia asociada con las ondas de luz surge cuando se combinan los campos electromagnéticos que constituyen las ondas ondas individuales. 

Nota:      

• Constructiva     E1 = Eo1*sen(Kx-wt)
• Destructiva     E2= Eo2*sen(Kx-wt*(delta)) Delta es la diferencia de fase.

Los efectos de interferencia en las ondas de luz no son fáciles de observar debido a las cortas longitudes de onda involucradas. Pero dos condiciones facilitan la observación de interferencia entre dos fuentes de luz:

    Las fuentes son coherentes, lo cual significa que las ondas que emiten deben mantener una fase constante una con respecto a la otra.

    Las ondas tienen longitudes de onda idénticas.

Para crear interferencia se necesitan dos fuentes.

Para producir un patrón de interferencia estable, las ondas individuales deben mantener una fase constante una con otra.Cuando esta situación prevalece se dice que las fuentes son coherentes. Si dos fuentes de luz se colocan lado a lado, no se observan efectos de interferencia porque las ondas de luz provenientes de una fuente se emiten independientemente de las ondas de la otra fuente. Las emisiones de las dos fuentes mantiene una relación de fase constante mutua durante el tiempo de observación. Una fuente de luz ordinaria experimenta cambios aleatorios aproximadamente cada 10^-8 segundos. En consecuencia las condiciones para interferencia constructiva, destructiva y estados intermedios tienen duraciones de 10^-8 s y de esta forma no se observan efectos de interferencia porque el ojo no puede seguir tales cambios a corto plazo. Se que dice que las fuentes de luz ordinarias son incoherentes.

Para producir dos fuentes de luz coherentes es pasar luz de de una fuente con una sola longitud de onda a través de una estrecha rendija y luego permitir que la luz caiga sobre una pantalla que contiene otras dos rendijas estrechas. La primera rendija se necesita para crear un solo frente de onda que ilumine ambas rendijas de manera coherente. La luz que sale de las dos rendijas es coherente por que una sola fuente produce el haz de luz original y las rendijas solo sirven para separar el haz original en dos partes (cualquier cambio ocurrira al mismo tiempo y se pueden observar efectos de interferencia).

Es mucho más común usar un laser como fuente coherente.

Doble rendija de Young

Young demostró la interferencia en las ondas de luz a partir de dos fuentes. Su modelo consistía en que la luz incide sobre una pantalla que contiene una rendija S0. Las ondas de luz que salen de esta rendija llegan a una segunda pantalla que contiene dos estrechas rendijas paralelas S1 y S2. Estas rendijas sirven como un par de fuentes de luz coherente porque las ondas que salen de ellas se originaron del mismo frente de onda y por tanto siempre están en fase. La luz proveniente de las dos rendijas produce un patrón visible sobre la pantalla C que consiste de una serie de bandas paralelas brillantes y oscuras llamadas franjas. Cuando la luz proveniente de las rendijas S1 y S2 llega a un punto sobre la pantalla de modo que ocurre interferencia constructiva en dicha posición aparece una franja brillante. Cuando la luz proveniente de las dos rendijas se combina de manera destructiva en cualquier posición sobre la pantalla resulta en una franja oscura.

En las siguientes figuras podemos observar algunas formas en las que las ondas pueden combinarse en la pantalla C.

En la primera figura dos ondas que salen de las dos rendijas en fase golpean la pantalla en el punto central p, puesto que estas ondas recorren distancias iguales llegan en fase a P y como resultado ocurre interferencia constructiva y se observa una franja brillante. En la segunda figura las dos ondas parten en fase pero la onda superior tiene que recorrer una longitud de onda mayor para llegar al punto Q sobre la pantalla. Pero cómo llegan en fase a Q, aparece una franja brillante (aparece una segunda franja brillante). Ahora en la tercera figura  a la mitad entre P y Q, (un punto R) la onda superior cae media longitud de onda detras de la onda inferior. Esto significa que el valle de la onda inferior traslapa con la cresta de la onda superior y da origen a interferencia destructiva.

Ahora con la siguiente figura podemos describir cuantitativamente el experimento de Young.

Considerando el punto P sobre la pantalla de visualización, la pantalla se coloca a una distancia perpendicular L desde la pantalla que contiene las rendijas S1, S2 que están separadas una distancia d, siendo r1 y r2 la distancia que recorren las ondas secundarias desde la rendija hasta la pantalla. Suponga que las ondas que salen de S1 y S2 tienen la misma frecuencia constante tienen la misma amplitud y parten en fase. La intensidad de la luz sobre la pantalla en p es resultado de la luz de ambas rendijas. Sin embargo una onda de la rendija inferior recorre más distancia que una onda de la rendija superior por la cantidad d * sen O. Esta distancia se llama diferencia de trayectoria (delta) donde (delta) = r2-r1 = d * sen O. Esta ecuación supone que las dos ondas viajan en líneas paralelas por lo que es aproximadamente cierto porque L es mucho mayor que d. Si la diferencia de trayectoria es 0 o algún múltiplo entero de longitud de onda, las ondas están en fase en P y resultan en interferencia constructiva. Por lo tanto la condición para franjas brillantes en P es: (delta) = d * sen O (brillante) = m* (lambda) siendo m = 0, +-1 , +-2 ...

El número m se llama número de orden. La franja brillante central en 0(brillante) = 0 (m = 0) se llama maximo de orden cero. Si m = 1, se llama maximo de primer orden y así sucesivamente.

Cuando (delta) es un múltiplo par de (lambda/2) las dos ondas que llegan a P están 180° fuera de fase y dan lugar a interferencia destructiva. Por lo tanto la condicion para franjas oscuras o intereferencia destructiva en P es:

(delta) = (d*sen O (omega) (oscura)) = (m + 1/2 ) * (lambda), siendo m = 0, +-1, +-2 ...

Si m = 0 en esta ecuación, la diferencia de trayectoria es (gamma = (delta) / 2) que es la condición para la ubicación de la primera franja oscura en cualquier lado del máximo central. De modo que si m = 1, la diferencia de trayectoria es (delta = 3 (lambda) / 2) que es la segunda condición para la segunda franja oscura en cada lado.

Es útil obtener expresiones para las posiciones de las franjas brillantes y oscuras medidas verticalmente desde O hasta P. Además la suposición de que L >> d, se supone que d >> (lambda). Estas suposiciones pueden ser válidas porque L con frecuencia está en el orden de 1 m, d es una fracción de milímetro y (lambda) es una fracción de un micrómetro de luz visible. Bajo estas condiciones O (omega) es pequeño, así que se puede usar la aproximación sen O (omega) = tan (omega). Entonces a partir del triángulo O P Q, vemos que y = L * tan O (omega) = L * sen O (omega).

De esta forma obtenemos que y brillante = (lambda * L * m) / d siendo m = 0, +-1, +-2.

Y las franjas oscuras y oscura = (Lambda * L) * (m + ½ ) / d siendo m = 0, +-1, +-2.

Aproximación de ángulo pequeño. El tamaño importa. La aproximación de ángulo pequeño sen O (omega) > tan O (omega) es cierta a una precisión de tres dígitos sólo para ángulos menores que aproximadamente 4°.

De esta forma el experimento de Young proporciona un método para medir la longitud de onda de la luz y la usó para hacer eso y dio al modelo ondulatorio de la luz una mayor credibilidad.

Cambio de fase debido a la reflexión.

Existe otra forma para producir un patrón de interferencia con una sola fuente de luz que se conoce como espejo de Lloyd. Consiste en colocar una fuente de luz puntual cerca de un espejo S. Las ondas de luz pueden llegar al punto de vista P o mediante la ruta directa SP o por la trayectoria que involucra la reflexión del espejo.

En puntos alejados de la fuente se observa un patrón de interferencia debido a ondas S y S’, tal como para dos fuentes coherente reales. Sin embargo las posiciones de las franjas oscuras y brillantes se invierten en relación con el patrón que se obtiene de dos fuentes coherentes reales. Esto se debe a que fuentes coherentes S y S’ difieren en fase por 180°.

Una onda electromagnética experimenta un cambio de fase de 180° en la reflexión desde un medio que tenga un índice de refracción más alto que el del medio donde viaja la onda.

Interferencia en películas delgadas.

Los efectos de la interferencia comúnmente se observan en películas delgadas como un burbuja de jabón o capas de aceite sobre agua.

Los variados colores que se observan cuando la luz blanca incoherente incide sobre tales películas resultan de la interferencia de las ondas reflejadas de las dos superficies de la película.

Considerando una película de grosor uniforme t e índice de refracción n. Suponga que los rayos de luz que viajan en aire son casi normales a las dos superficies de la película. Para determinar si los rayos reflejados interfieren constructiva o destructivamente, hay que observar los siguientes hechos:

1. Una onda electromagnética que viaja desde un medio con índice de refracción n1 hacia un medio con índice de refracción n2 experimenta un cambio de fase de 180° en la reflexion cuando n2>n1. Si n1>n2, no hay cambio en la onda reflejada.
2. La longitud de onda de la luz (lambda n) en un medio con indice de refraccion n es (lambda n = lambda / n) donde (lambda es la longitud de onda de la luz en el vacio)

Aplicando estas reglas en la película de la figura. De acuerdo con la primera regla el rayo 1, que se refleja de la superficie superior A, experimenta un cambio de fase de 180°. El rayo 2 que se refleja de la superficie inferior B, no experimenta cambio de fase con respecto a la onda incidente. Por lo tanto el rayo 1 está 180° fuera de fase con respecto al rayo 2, que es equivalente a una diferencia de trayectoria (lambda n / 2). Sin embargo, también se debe considerar que el rayo 2 recorre una distancia adicional de 2t antes de que las ondas se recombinan en el aire sobre la superficie.

Si (2t = lambda n / 2) los rayos 1 y 2 se recombinan en fase y resulta interferencia constructiva. La condición para interferencia constructiva en una partícula delgada es

(2t = (m + ½ ) * lambda n) siendo m = 0,1,2 …

Esta condición toma dos factores: 1) la diferencia en longitud de trayectoria para los dos rayos (el término m lambda n  y 2) el cambio de fase de 180° en la reflexión (el término lambda n / 2). Puesto que lambda n = lambda / n, la ecuación se puede escribir de la forma.

(2nt = (m+½) * lambda) siendo m = 0, 1, 2… (ecuación 1)

Si la distancia adicional 2t recorrida por el rayo 2 es múltiplo de lambda n, las dos ondas se combinan fuera de fase y el resultado es interferencia destructiva. La ecuación general para la interferencia destructiva en película es:

(2nt = m * lambda) siendo m = 0, 1, 2 … (ecuación 2)

Estas ecuaciones son interferencia constructiva y destructiva siempre y cuando hay una inversión de fase. Es decir cuando los medios arriba y abajo de la película delgada tienen ambos índices de refracción mayores  que la película o cuando ambos tienen índices de refracción menores que la película. Ejemplo, si existe aire (n = 1) tanto arriba como abajo de la película. En cambio si la película se coloca entre dos medios diferentes uno de menor indice refractivo que la película y uno de mayor índice refractivo las ecuaciones se invierten. Existe un cambio de cambio de fase de 180° tanto para el rayo 1 que se refleja en A y tanto como para el rayo 2 que se refleja en B.

(El cambio neto en fase relativa debido a las reflexiones es 0).

Nota: Los colores se deben a interferencia entre los rayos de luz reflejados de las superficies frontal y posterior de una capa delgada que permita pasar luz. El color depende del grosor de la película que varía a negro donde la película es delgada y magenta donde es más gruesa.

Las variaciones en el grosor de la película producen el patrón de color que intersecta.

Notas :     a *sen O = m

        numero de franjas: m = d/a

Difracción

Si un haz de luz incide sobre dos rendijas, si realmente viajan en trayectorias de línea recta después de pasar las rendijas, las ondas no se traslaparian y no se vería patrón de interferencia. En vez de ello el principio de Huygens requiere que las ondas se dispersen de las rendijas. La luz se dobla desde una trayectoria en línea recta y entra a la región que de otro modo sería sombreada. Esta dispersión de la luz desde su línea de viaje inicial se llama dispersión.

En general, la difracción ocurre cuando las ondas pasan a través de una pequeña abertura, alrededor de obstáculos o mediante bordes agudos. Cuando una sola rendija estrecha se coloca entre una fuente de luz distante y una pantalla, la luz produce un patrón de difracción como el siguiente.

El patrón consiste en una amplia banda central intensa flanqueada por una serie de bandas secundarias más estrechas y menos intensas (máximos secundarios) y una serie de bandas opacas (mínimos). Este fenómeno no se puede explicar dentro del marco de la óptica geométrica ya que dice que los rayos de luz que viajan en línea recta deberían proyectar una imagen clara. de la rendija sobre la pantalla.

Un tipo de difracción llamada difracción de Fraunhofer ocurre cuando los rayos salen del objeto difractante en direcciones paralelas. La difracción de Fraunhofer se puede lograr experimentalmente al colocar la pantalla de observación lejos de la rendija o con el uso de una lente convergente para enfocar los rayos paralelos sobre una pantalla cercana.

Difracción de una sola rendija.

Hasta ahora suponíamos en rendijas que tienen ancho despreciable, que actúan como fuentes lineales de luz. Ahora con anchos distintos que 0, son la base para comprender la naturaleza del patrón de difracción de Fraunhofer.

De acuerdo con el principio de Huygens cada porción de la rendija actua como una fuente de ondas. Por tanto la luz proveniente de una porción de la rendija puede interferir con la luz proveniente de otra porción y la intensidad resultante sobre la pantalla depende de la dirección O (omega).

Por esto es conveniente dividir la rendija en mitades. Todas las ondas que se originan en la rendija están en fase. Considere las ondas 1 y 3 que se originan en el fondo y el centro de la rendija respectivamente. La onda 1 viaja mas que la onda 3 por una cantidad igual a la diferencia de trayectoria (a/2)*sen, donde a es el ancho de la rendija.

De igual modo, la diferencia de trayectoria entre las ondas 3 y 5  es (a/2) sen O (omega). Si esta diferencia de trayectoria es exactamente la mitad de una longitud de onda (que corresponde a una diferencia de fase de 180°), las dos ondas se cancelan mutuamente y resulta interferencia destructiva. Esto es cierto, para cualquiera dos ondas que se originan en puntos separados por medio ancho de rendija por que la diferencia entre dos de tales puntos es 180°. Por tanto las ondas provenientes de la mitad superior de la rendija interfieren destructivamente con las ondas provenientes de la mitad inferior de la rendija cuando:

a/2 sen O (omega) = (lambda / 2) o cuando sen O (omega) = (lambda / a)

En general la condición para interferencia destructiva para una sola rendija de ancho a es:

Sen O (omega) oscura = m * (lambda) / a siendo m = +-1,+-2,+-3.

Esta ecuación proporciona los valores de O (omega) para los cuales el patrón de difracción tiene intensidad cero, donde se forma una franja oscura.

Pero de esta forma, los puntos de interferencia constructiva yacen aproximadamente a la mitad entre franjas oscuras.

Nota: Esta ecuación es parecida a la de patrón de interferencia de dos rendijas pero esa describe las regiones brillantes, mientras que esta nueva describe regiones oscuras en un patrón de interferencia de una sola rendija.

Rejilla de difracción

La rejilla de difracción consiste en un gran número de rendijas paralelas igualmente espaciadas (Por ejemplo puede tener hasta 5000 líneas por cm).

Una onda plana incide desde la izquierda normal al plano de la rejilla. La intensidad del patrón sobre la pantalla es resultado de los efectos combinados de interferencia y difracción. Cada rendija causa difracción y los haces difractados a su vez interfieren unos con otros para producir el patrón. Cada rendija actúa como una fuente de ondas y todas las ondas parten en fase de las rendijas. Sin embargo para algunas dirección arbitraria O (omega) medida desde la horizontal las ondas deben recorrer diferentes longitudes de trayectoria antes de llegar a un punto particular P sobre la pantalla.

Observe en la figura que la diferencia de trayectoria entre ondas desde cualesquiera dos rendijas adyacentes es d * sen O (omega). Si esta diferencia de trayectoria es igual a una longitud de onda o cierto múltiplo entero de una longitud de onda, las ondas de todas las rendijas estarán en fase P y en dicho punto se observara una línea brillante.

La condicion para maximos en el patron en el angulo O (omega) es:

d sen O (omega) brillante = m* (lambda) siendo m = 0, +-1, +-2

La luz que sale de una rendija a un ángulo distinto a aquel para un máximo interfiere casi por completo de manera destructiva con la luz proveniente de alguna otra rendija en la rejilla.

Se puede usar la ecuación anterior para calcular la longitud de onda a partir del espaciamiento de la rejilla y el ángulo de desviación O (omega). El entero m es el número de orden del patron de difraccion. Si la radiación incidente contiene muchas longitudes de onda, cada longitud de onda se desvía a través de un ángulo específico que se puede encontrar con dicha ecuación. Todas las longitudes de onda se enfocan en O (omega) = 0 que corresponden a m = 0. Este punto es el máximo de orden cero. El máximo de primer orden que corresponde a m = 1, se observa a un ángulo que satisface la relación sen O (omega) = (lambda) / d. Y así sucesivamente, aumentando el ángulo.

Se puede observar la distribución de intensidad para algunos de los órdenes producidos por una rejilla de difracción.

Observe lo aguzado del máximo principal y el amplio rango de áreas oscuras, un patrón en contraste directo con las amplias franjas brillantes características del patrón de interferencia de dos rendijas. (¿Que mierda significa esto?)

En la otra figura se muestra un arreglo simple que se puede usar para medir ángulos en un patrón de difracción. La longitud de onda se puede determinar al medir los ángulos en los que aparecen las imágenes de la rendija para los varios órdenes.

Notas: R = (lambda) / (delta lambda) = m*N

    siendo N: número de ranuras, d: constante de red y R: poder de resolución.

Resolución

Poder de resolución de una abertura circular.

(El ojo no está resolviendo cuando ve dos focos como uno).

Alpha c = 1,22 (lambda) / (diametro)

Polarización de ondas de luz

El fenomeno de polarizacion es firme evidencia de la naturaleza transversal de las ondas electromagnéticas.

Un haz de luz ordinario consiste de un gran número de ondas electromagnéticas emitidas por los atomos o moleculas de la fuente de luz. Las cargas vibratorias asociadas con los átomos actúan como pequeñas antenas. Cada átomo produce una onda con su propia orientación E que corresponde a la dirección de la vibración atómica.

Dado que todas las direcciones de vibración son posibles, la onda electromagnética resultante es una superposición de ondas producidas por las fuentes atómicas individuales. El resultado es una onda de luz no polarizada cuya dirección de propagación es perpendicular a la página. Todas las direcciones del vector del campo eléctrico son probables y yacen en un plano perpendicular a la dirección de propagación.

Mientras que se dice que una onda está linealmente polarizada si el campo eléctrico resultante E vibra en la misma dirección, en todo momento en un punto particular (polarizada).

Es posible obtener un haz linealmente polarizado a partir de un haz no polarizado al remover todas las ondas del haz, excepto aquellas con vectores del campo eléctrico que oscilan en un plano.

Procesos para polarizar una onda de luz.

• Absorción selectiva

Consiste en usar un material que transmita ondas que tengan vectores de campo eléctrico que vibren en un plano paralelo a cierta dirección y absorban dichas ondas con vectores de campo eléctrico que vibren en direcciones perpendiculares a dicha dirección.

Es un polarizador ideal, se absorbe toda luz E perpendicular al eje de transmisión (se llama eje de transmisión a la dirección perpendicular que permite pasar la luz (?) )

Reducen la intensidad de la luz que pasa a través de ellos. En la figura, cuando la luz no polarizada incide sobre la primera hoja polarizadora  (polarizador, con su respectivo eje de transmisión), la luz que pasa a través de esta se polariza verticalmente y el vector de campo eléctrico transmitido es Eo. Una segunda hoja polarizadora se llama analizador intercepta este haz con su eje de transmisión a un ángulo de O (omega) con el eje polarizador. El componente de Eo que es perpendicular al eje del analizador se absorbe completamente. El componente de Eo que es paralelo al eje del analizar, Eo cos O, se permite pasar a través del analizador. De esta forma la intensidad del haz transmitido varía como el cuadrado de su  amplitud E. Se concluye que la intensidad es igual a: I = Io * Cos ^2 (O). Donde Io, es la intensidad de la onda polarizada incidente sobre el analizador. Esto se conoce como ley de Malus. Se aplica a cualesquiera dos materiales polarizadores que tienen ejes de transmisión a un ángulo O uno de otro.

Cuando la luz no polarizada con intensidad Io se envia a traves de un solo polarizador ideal, la luz linealmente polarizada que se transmite tiene intensidad Io/2.

• Por reflexión

Cuando un haz de luz no polarizada se refleja en una superficie la luz reflejada es completamente polarizada, parcialmente polarizada o no polarizada dependiendo del ángulo de incidencia. Si el ángulo es de 0° y 90°, el haz no es polarizado. Para algunos ángulos de incidencia entre 0° y 90° si es polarizado en cierta medida. Y para un ángulo en particular es completamente polarizado.

Suponiendo que un haz de luz no polarizado incide sobre una superficie. Puede describir dos componentes de campo eléctrico, uno paralelo a la superficie y el otro perpendicular al primer componente y a la direccion de propagacion. Se encuentra que el componente paralelo se refleja con más intensidad que los otros componentes y el resultado es un haz parcialmente polarizado. El haz refractado también es parcialmente polarizado.

Si el ángulo de incidencia O1, varía hasta que el ángulo entre los haces reflejado y refractado es 90°, a este ángulo de incidencia se lo llama ángulo de polarización Op, el haz reflejado es completamente polarizado, con su vector de campo eléctrico paralelo a la superficie, mientras que el haz refractado es parcialmente polarizado.

Una expresión que relaciona el ángulo de polarización con el índice de refracción de la superficie reflejante se puede obtener a partir de la figura y se deduce la siguiente ley:

n = sen Op / cos Op = tan Op

Esta ecuación se llama ley de Brewster (Op ángulo de Brewster).

• Por dispersión.

Cuando la luz incide sobre un sistema de partículas, como un gas, los electrones en el medio pueden absorber y volver a radiar parte de la luz. La absorción y re radiación de la luz por el medio se llama dispersión, es lo que hace que se polarice la luz solar.

En el gráfico podemos observar cómo se polariza la luz solar. El lado izquierdo muestra como un haz incidente no polarizado choca con una molécula de aire. Al hacerlo, pone a vibrar los electrones de las moléculas y estas cargas en vibración actuan como una antena, excepto que vibran en un patrón complicado. La parte horizontal del vector de campo eléctrico en la onda incidente hace que las cargas vibren horizontalmente y la parte vertical del vector simultáneamente las hace vibrar verticalmente. Como resultado de su movimiento horizontal, los electrones emiten una onda horizontalmente polarizada (ocurre lo mismo en sentido vertical, es paralela a la tierra).